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Teorema dos Extremos (Weierstrass)

Seja f \colon X \to Y contínua, onde Y é um conjunto com a topologia da ordem e X é compacto. Então existem pontos c e d de X tais que f(c) \leq f(x) \leq f(d) para todo x \in X.

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Demonstração.

A imagem f(X) é compacta, portanto basta mostrar que f(X) possui maior e menor elementos. Se não fosse o caso, por exemplo, de haver maior elemento, então a coleção \{(-\infty, a) : a \in A\} seria uma cobertura de f(X), que possui subcobertura finita \{(-\infty,a_1),\dots,(-\infty,a_N)\}. Mas isso significa que \max \{ a_1,\dots,a_N \} \notin A, absurdo.


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