Espaços conexos
A definição usual de conexidade se dá em torno de separações ou cisões. Uma cisão de um espaço topológico é uma partição do espaço cujas componentes são abertos. O espaço é dito conexo se a sua única cisão é a trivial. Intuitivamente, por ser aberta, cada componente de uma cisão já carrega consigo todos os pontos próximos
de si mesma. Assim, a existência de uma cisão não trivial corresponde a um espaço com mais de uma região que contém todos os seus pontos próximos
.
Fecho de conexo é conexo
De fato, se E \subseteq X é conexo, todo E \subseteq F \subseteq \closure{E} é conexo também.
Seja \{A, B\} uma cisão de F. Como E é conexo, então E \subseteq A ou E \subseteq B. Em ambos os casos, A e B são fechados em \closure{E}, que é fechado em X, logo são fechados em X. Daí, \closure{E} \subseteq A ou \closure{E} \subseteq B, de onde segue que a cisão é trivial.