Monitoria de espaços métricos

Material extra

Composição de métricas com funções côncavas

Existe uma maneira mais geral (e menos simples) de provar de uma vez que todas as funções abaixo são métricas, se d for uma métrica:

\begin{align*} d_1(x,y) &= \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} \\ d_2(x,y) &= \sqrt{d(x,y)} \\ d_3(x,y) &= \max \{ 1,d(x,y) \} \\ d_4(x,y) &= \log (1 + d(x,y)) \end{align*}

Vamos olhar para os gráficos das funções acima, mas trocando d(x,y) por uma variável (por exemplo, um dos gráficos abaixo mostra f_1(x) = x/(1 + x), sendo que temos d_1 = f_1 \circ d):

Suspeito? Todas são funções côncavas.

Lema.

Se f : \RR \to \RR for uma função côncava tal que f(0) = 0 e f(x) > 0 para x > 0, então para toda métrica d, f \circ d é métrica.

Solução.

Separabilidade

Como para todo x \in M, d(x,x) = 0, temos f(d(x,x))=f(0)=0.

Se x, y \in M com x \neq y, então d(x,y) \in (0,\infty) e portanto f(d(x,y)) > 0.

Simetria

Para todos x,y \in M, d(x,y) = d(y,x), portanto f(d(x,y)) = f(d(y,x)).

Desigualdade triangular

Primeiro, notamos que f é não-decrescente. Caso contrário, existiriam x, y \in [0,\infty) com x < y tais que f(x) > f(y). Assim, poderíamos definir p := \frac{yf(x) - xf(y)}{f(x) - f(y)} > \frac{yf(x) - yf(y)}{f(x) - f(y)} = y. Seja \alpha := \frac{y - x}{p - x} \in (0,1). Como f é côncava, f((1 - \alpha) x + \alpha p) \geq (1 - \alpha) f(x) + \alpha f(p) \implies \alpha f(p) \leq f((1 - \alpha) x + \alpha p) - (1 - \alpha) f(x) Notando que 1 - \alpha = \frac{p - y}{p - x}, e que (1 - \alpha)x + \alpha p = \frac{(p - y)x + (y - x)p}{p - x} = \frac{y(p - x)}{p - x} = y, obtemos:

\begin{align*} \alpha f(p) &\leq f(y) - \frac{p - y}{p - x}f(x) \\ &= \frac{(p - x)f(y) - (p - y)f(x)}{p - x} \\ &= \frac{yf(x) - xf(y) - p(f(x) - f(y))}{p - x} = 0\quad \text{(pela definição de $p$).} \end{align*}

Mas isso é impossível, pois \alpha>0 e p > y \geq 0, de forma que f(p) > 0 e deveríamos ter \alpha f(p) > 0. Assim, f deve ser não-decrescente.

Pela definição de função côncava, sabemos que para todo \alpha \in (0,1), f(\alpha y) = f((1 - \alpha)\cdot0 + \alpha y) \geq (1 - \alpha)f(0) + \alpha f(y) = \alpha f(y), portanto, se a, b \in (0,\infty),

\begin{align*} f(a) + f(b) &= f\left(\frac{a}{a + b}(a + b)\right) + f \left(\frac{b}{a + b}(a + b)\right) \\ &\geq \frac{a}{a + b}f(a + b) + \frac{b}{a + b}f(a + b) = f(a + b). \end{align*}

Agora, sejam x,y,z \in M. Pela separabilidade, podemos assumir sem perda de generalidade que x e z são diferentes de y, de forma que d(x,y)>0 e d(y,z) > 0. Sabemos que d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z) pois d é métrica, e que f é não decrescente; combinando isso com a última desigualdade, concluímos: f(d(x,y)) \leq f(d(x,y) + d(y,z)) \leq f(d(x,y)) + f(d(y,z)), provando a desigualdade triangular.

Curvas de Peano

Continuidade parece ser uma propriedade muito forte e intuitiva, mas mesmo assim, existem exempos de funções contínuas que desafiam essa percepção.

Uma delas consiste em uma função f \colon [0,1] \to [0,1]^2 que é contínua e sobrejetiva. Funções deste tipo são denominadas curvas de Peano.