Espaço métrico
Uma métrica em um conjunto M é uma função d : M \times M \to \RR com as seguintes propriedades:
- d(x,x) = 0;
- Se x \neq y, então d(x,y) > 0;
- d(x,y) = d(y,x);
- d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z).
Também podemos trocar os items (3) e (4) pelo mais sucinto (e menos explícito):
- d(x,z) \leq d(y,x) + d(y,z)
Exemplos
- Métrica
zero-um
; - Métrica induzida em um subespaço;
-
\RR com a métrica módulo; Desigualdade triangular sai assim:
\begin{align*} -|a| &\leq a \leq |a| \\ -|b| &\leq b \leq |b| \\ \therefore -(|a| + |b|) &\leq a + b \leq |a| + |b| \end{align*} -
Os espaços euclidianos \RR^n, com as métricas:
-
d(x,y) = \sqrt{\sum_i (x_i - y_i)^2}
NotaA prova usa Cauchy-Schwartz; a generalização de Cauchy-Schwartz é a desigualdade de Hölder.
- d'(x,y) = \sum_i |x_i - y_i|
- d''(x,y) = \max_i |x_i - y_i|.
-
- Métricas em espaços de funções F(X,\RR) com a norma do supremo.