Espaços compactos

Um subespaço de um espaço topológico compacto é compacto se, e somente se, ele for fechado.

Considere o espaço produto X \times Y, onde Y é compacto. Se N for um subconjunto aberto de X \times Y contendo o subconjunto x_0 \times Y, então existe uma vizinhança U de x_0 tal que U \times Y \subseteq N.

Munkres 1, 2, 5, 7, 8, 10, 12

1. Questões gerais

   1. Sejam \tau' \supseteq \tau duas topologias em X. O que a compacidade de X em uma dessas topologias implica sobre a compacidade na outra?

      Se \tau' for compacto, então \tau também é. A outra implicação não é verdadeira: por exemplo, a topologia trivial em um espaço não compacto é compacta.

   2. Mostre que se X é compacto roam:Hausdorff sob ambas \tau e \tau', então ou \tau = \tau' ou elas não são comparáveis.

      É suficiente mostrar que \tau \subseteq \tau' \implies \tau = \tau'. Suponha \tau \subseteq \tau', e vamos mostrar a outra inclusão. Seja U \in \tau'. Como U^{\complement} é fechado, é compacto em \tau'. Mas vimos acima que isso implica em U^{\complement} ser compacto em \tau, que é Hausdorff, logo U^{\complement} é um fechado de \tau. Isso mostra que U \in \tau.

2. Reais

   1. Ok
   2. Não: seja S = [0,1] ∖ \QQ, e \mathcal{U} = \{ S \cup \{q\} : q \in \QQ \}.
5. Para cada ponto x \in A, conseguimos uma vizinhança V_x de x que é disjunta de um aberto U_x \supset B. Fazemos a cobertura de A por esses abertos, e extraímos uma subcobertura finita. A subcobertura V_{x_1} \cup \dots \cup V_{x_N} resultante e a interseção U_{x_1} \cap \dots \cap U_{x_N} são os abertos desejados.
7. Seja C \subseteq X \times Y um fechado. Tome x \in X ∖ \pi(C). Sabemos que x \times Y \subseteq C^{\complement}, logo pelo Lema do Tubo existe uma vizinhança W de x tal que W \times Y \subseteq C^{\complement}. Assim, (w,y) \notin C para todo w \in W, y \in Y, ou seja, w \notin \pi(C). Isso mostra que x \in W \in X \setminus \pi(C), logo \pi(C) é fechado.
8. Suponha f contínua. Seja \equiv : Y \times Y \to \{0,1\} o mapa Então G_f = ((x,y) \mapsto (f(x) \equiv y))^{-1}(0)